%     Gravitación -> Capitulo 5.
%
% basado en la versión 1997-05-14
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%     Lista de cambios
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% n.  [autor]; Sec ; Parrafo #.
%     Decia: "";
%     Dice: "";
%     Comentario: [opcional]
%     Fecha: aaaa-mm-dd
%
% 1.  Samuel; Correción de errores.
%     Se colocaron los espacios entre palabras que hacian falta en la lista de los potenciales.
%     Se quitó la palabra "derecha" en la sección 4 (Precesión del perihelio).
%     Se agrego el entorno para la figura 1 y la referencia a la misma.
%     Se cambio Fig. por Figura, ec. por ecuación en los casos que se presentaban.
%     Se hizo la etiquetación de las figuras y referencia a ellas.
%     En la sección "Atractividad..." se sustituyo \u por \emph para resaltar "inercial"
%     Fecha: 2007-12-10
%
% 2.  Samuel; Corrección de errores en el texto e insercción de figuras.
%     Se han hecho muchas modificaciones para corregir, así que no las puedo enumerar, no queda más que leer el capítulo y notar
%     las diferencias. Yo las tengo subrayadas en una copia impresa.
%     En la sección 2 se cambio k por n para evitar confusiones con la k del oscilador armónico.
%     Fecha 2007-12-19
%
% 3. Samuel; Se hicieron las correcciones referidas en la reunión del 8 de enero de 2008, todo está marcado en las versiones escritas
%    Fecha 2008-01-14
% ------------------------------------------------------------
\chapter{Una segunda pasada}

\section{Las virtudes del mal medir}
En el caso del sistema solar,  la masa reducida $\mu$ de cada planeta,
es pr\'acticamente igual a la masa del planeta,  de modo que el nuevo
valor para $b$, es apenas una correcci\'on  neur\'otica de orden superior.
Donde s\'{\i}  hay novedades interesantes es en la tercera ley de
Kepler.

Puesto que el per\'{\i}odo de revoluci\'on es  $ T = \pi ab/ \dot A $ y ahora
la velocidad de barrido de \'area es $ dA/dt = l/(2 \mu) $, resulta que
%
\begin{align}
\label{cap5:ec1}
T^2 = \frac{4 \pi ^2 a^3}{G(M+m)} =  \frac{4 \pi ^2  a^3}{GM}\cdot \frac{1}{1 + m/M}
\end{align}

Se ve que el resultado no corresponde exactamente a la tercera ley
de  Kepler, puesto que ahora la ``constante'' de proporcionalidad,
entre el cuadrado del per\'{\i}odo y el cubo del semi--eje mayor,
deja de ser una constante estricta que depende exclusivamente
de propiedades del Sol. En cada caso, aparece  un  factor que depende
de la suma de la masa del Sol y la masa del planeta.

Si comparamos la ecuaci\'on (\ref{cap5:ec1}) con la primitiva tercera ley de Kepler,
se ve que solamente difieren en un factor,
que felizmente  es casi  igual a la unidad.  Decimos {\it felizmente}
porque, si no hubiese sido as\'{\i} y Kepler hubiese tenido a su disposici\'on
mediciones de tanta precisi\'on de tal manera que \'el hubiese podido expresar
su tercera ley en la forma exacta que hoy conocemos, los f\'{\i}sicos te\'oricos
del 1600 habr\'{\i}an tenido una tarea mucho m\'as dura.
Una suerte parecida acompa\~n\'o a los te\'oricos en el desarrollo
de las primeras leyes de la f\'{\i}sica at\'omica, ya que, si
desde el comienzo se hubiese contado con informaci\'on
espectrosc\'opica de la m\'as alta precisi\'on, el desarrollo
de la teor\'{\i}a hubiese sido mucho m\'as problem\'atico.
Contrariamente a lo que se dice por ah\'{\i}, hay una
cierta virtud en el mal medir.\medskip

\section{Otra vez la tercera ley de Kepler}

En uno de sus libros, Feynman dice por ah\'{\i}: {\sl no me voy
a ocupar de la ecuaci\'on  $ \ddot x = - \omega ^2 x $,
sino solamente de la ecuaci\'on  $ \ddot x = - x $, ya que
basta un simple cambio en las unidades de tiempo para pasar
de una a otra y la segunda es m\'as sencilla.} Este es siempre
un deporte intelectual interesante: preguntarse qu\'e ocurrir\'{\i}a
con nuestras ecuaciones si cambi\'asemos las unidades $\ldots $
o si cambi\'asemos las dimensiones del sistema que estudiamos.

Escondida en la tercera ley, hay una interesante consecuencia
de los cambios de escala que podemos imaginar del sistema solar.

Tal como ya discutimos, las ecuaciones de movimiento las
podemos obtener a partir de la conservaci\'on de la energ\'{\i}a.
Vimos tambi\'en que la energ\'ia potencial es insensible a las constantes
aditivas, pero ahora debemos agregar un grado de insensibilidad
extra: si multiplicamos la energ\'{\i}a total por una
constante, se obtienen las mismas ecuaciones de movimiento
que antes de multiplicar. Vamos a examinar qu\'e repercusiones
tienen, sobre la funci\'on energ\'{\i}a total, los posibles cambios de
unidades de tiempo y longitud.

Las funciones energ\'{\i}a potencial que hemos considerado son
solamente cuatro:
\begin{enumerate}
\item $U(\vec r) = - \vec F_{\circ} \cdot \vec r$  (un campo uniforme).
\item $U(\vec r) = kr $ (fuerza central de tama\~ no constante).
\item $U(\vec r) = \frac12 k r^2 $ (un oscilador arm\'onico).
\item $U(\vec r_1, \vec r_2) = - K/\vert \vec r_2 - \vec r_1\vert $ (la interacci\'on gravitacional)
\end{enumerate}

En todos estos casos, si a las unidades de longitud las cambiamos
en un factor $\alpha $, de modo que cada vector posici\'on $\vec r $
cambie a $\alpha \vec r $, tambi\'en cambian los valores num\'ericos
de las funciones energ\'{\i}a potencial. Pero advi\'ertase que, en
todos los casos, el cambio es del tipo
$$ U \mapsto  \alpha ^n U $$
En el caso del campo uniforme $ n = 1$, en el oscilador $ n=2 $; mientras
que, en el caso del campo gravitatorio,  $n = - 1 $.
En otras palabras, si cambiamos las unidades de longitud de modo que
$ l^{\prime} = \alpha l $, la energ\'{\i}a potencial gravitatoria cambia
en el factor $1/\alpha $, es decir, $U^{\prime} \mapsto U/\alpha $.
Por supuesto que el cambio de las unidades de longitud
tambi\'en repercutir\'a en el valor de las energ\'{\i}as cin\'eticas,
pero, como en \'estas aparecen las velocidades al cuadrado, las
energ\'{\i}as cin\'eticas aparecer\'{\i}an multiplicadas por el
factor $\alpha ^2 $. Podemos conseguir que tanto la energ\'{\i}a
cin\'etica como la potencial queden multiplicadas por el mismo factor,
si tambi\'en cambiamos las unidades de tiempo. Si junto con cambiar
la unidad de longitud en el factor $\alpha $, pasamos a una
nueva unidad de tiempo  $ t^{\prime} =  \alpha ^{3/2} t $, entonces
$ (v^{\prime})^2 \mapsto v^2/\alpha $; de modo que
tanto la energ\'{\i}a cin\'etica como la potencial quedar\'an
multiplicadas por el factor ($ 1/\alpha $), la energ\'{\i}a
total quedar\'a tambi\'en multiplicada por ese mismo
factor y las ecuaciones de movimiento ser\'an las mismas.
En resumen, si cambiamos las unidades de distancia y de tiempo
de modo que, entre las viejas y la nuevas dimensiones se
cumpla
%
\begin{align}
\label{cap5:ec2}
{t^{\prime}\over t} = \Bigl( {l^{\prime}\over l}\Bigr)^{3/2}
\end{align}
%
entonces rigen las mismas ecuaciones de movimiento.

Hasta aqu\'{\i} esto solamente parece un juego aritm\'etico, pero
observemos que el cambio, en las unidades de longitud, tambi\'en
podemos interpretarlo como un cambio real en el tama\~no del
sistema f\'{\i}sico. De tal modo, la igualdad (\ref{cap5:ec2}) tambi\'en
se puede interpretar as\'{\i}: si construimos un sistema
solar  $\alpha = l^{\prime}/l $ veces m\'as grande, entonces
el per\'{\i}odo de todos los planetas aparecer\'a multiplicado
por el factor $ \alpha ^{3/2} $. Esto es justamente lo que afirma
la tercera ley de Kepler.

\section{La Cuarta Ley de Kepler}

Aunque aparec\'{\i}a claramente en los datos de que dispon\'{\i}a,
Kepler se call\'o una ley que ahora enunciamos en su nombre:
{\sl los planetas no solamente se mueven en una elipse que
siempre est\'a en un mismo plano, sino que la orientaci\'on
de la elipse, en este plano, es invariable}.
Otra manera de decirlo ser\'{\i}a afirmar que el perigeo de cada planeta
{\sl siempre} est\'a en el mismo lugar; o que la l\'{\i}nea que une al
Sol, con el perigeo de Marte (o lo que sea), {\sl siempre} apunta hacia una
misma estrella.

Es sabido que hay algunas palabras m\'as peligrosas que otras.
``Todas'', ``siempre'', ``nunca'' ---etc.---, son palabras muy
peligrosas. Esto nos hace pensar que la afirmaci\'on de que el perigeo
est\'a {\sl siempre} en el mismo sitio quiz\'a sea una leve
exageraci\'on. Veamos esto con m\'as cuidado.

Sabemos que el momentum angular de los planetas es constante, por lo
que vamos a aprovechar a este $\vec l $ como nuestro punto de apoyo
para construirnos un vector que siempre apunte ---desde el
Sol--- hacia el perihelio.

Ya mostramos, en el Cap\'itulo II, Secci\'on 1,  que la velocidad de un planeta
se puede escribir
%
\begin{align}
\label{cap5:ec3}
\vec v = R \widehat \theta +  \vec c
\end{align}
%
en que $ R = GM/h $. Aqu\'{\i}  $ h $ es el m\'odulo del vector momentum
angular por unidad de masa y $ \vec c$ es  un vector constante, que
depende de las condiciones iniciales.

Lo interesante de la ecuaci\'on (\ref{cap5:ec3}) es que, debido a que  $ \vec c $
es un vector constante, tambi\'en es constante el vector $ \vec v - R
\widehat \theta $. Por lo tanto, tambi\'en ser\'a constante el
producto de este vector constante por cualquier otro vector constante;
por ejemplo, el vector momentum angular.

Entonces, si llamamos
%
$$ \vec A \equiv (\vec v - R \widehat \theta )\times \vec l $$
%
este vector $\vec A$ es constante {\sl por construcci\'on}. Se lo llama
{\sl vector de Runge--Lenz}.

Para que  $ \vec A $ tome el aspecto con que suele v\'ersele
por la calle, basta advertir que $ \widehat \theta \times \widehat l =
\widehat r $  y que, como $ R \cdot l = (GM/h) \cdot l = GMm $, resulta
que el vector de Runge--Lenz tambi\'en se puede escribir
%
\begin{align}
\label{cap5:ec4}
\vec A = \vec v \times \vec l - GMm \widehat r
\end{align}

Aunque hemos visto que el vector $\vec A $ es constante, por
construcci\'on, a\'un podr\'{\i}a quedar alguien que quisiera
ver hacia d\'onde apunta. Para descubrirlo, podemos usar cualquier
posici\'on del planeta en su \'orbita. Vamos a suponer que
el planeta va justamente pasando por el perihelio. Mostraremos que
$\vec A$  apunta exactamente hacia all\'a $\ldots $ y que, como es
constante, siempre apuntar\'a hacia el perihelio. De aqu\'{\i} en
adelante, $\vec r$, $\vec v $, $\vec \theta $, etc. corresponden
a esas magnitudes, en el perihelio
%
\begin{align*}
\vec A  & = \vec v \times \vec l - GMm \widehat r\\
& = vl \widehat r - GMm \widehat r \\
& = (vl - GMm)\widehat r
\end{align*}

Se ve que $\vec A $ es un vector acostado a lo largo del semie--eje
mayor de la elipse. S\'olo falta descubrir  su sentido.
En otras palabras, necesitamos conocer el signo del par\'entesis
$ (vl - GMm), $ que aparece en la \'ultima ecuaci\'on. Se puede ver
que
%
\begin{align*}
(vl - GMm)\widehat r  & = (mv^2r - GMm)\widehat r \\
& = (mv^2/r - GMm/r^2) r^2 \widehat r
\end{align*}

Ahora bien, $ mv^2/r $ es la fuerza necesaria para obtener una
\'orbita \underbar{circular} de radio r, mientras que $GMm/r^2 $
es la fuerza disponible en el perihelio. Esta \'ultima fuerza
es \underbar{menor} que la necesaria para obtener una circunferencia
---justamente por eso la \'orbita es el\'{\i}ptica---, de
modo que el par\'entesis tiene signo positivo y $\vec A $
apunta hacia el perihelio.

¿Para qu\'e sirve el vector de Runge--Lenz?  En primer
lugar, se puede mostrar que su m\'odulo es igual a la excentricidad
de la \'orbita, de modo que, al calcularlo, obtenemos de inmediato
esa informaci\'on. Por otra parte, el vector de Runge--Lenz nos
informa respecto a la orientaci\'on de la \'orbita en el espacio.
La orientaci\'on de la \'orbita es importante en las aplicaciones,
pero tambi\'en lo es desde un punto de vista m\'as fundamental,
ya que es un indicador muy sensible de la exactitud de la ley de
gravitaci\'on, como veremos a continuaci\'on.

\section{Precesi\'on del perihelio}

Si existieran dos part\'{\i}culas suficientemente alejadas
del resto de la materia del Universo como para poderlas
considerar ``aisladas'' y, si la ley de gravitaci\'on fuese exactamente
la newtoniana, entonces el perihelio estar\'{\i}a siempre
en el mismo lugar, \ ya que $\vec A $ ser\'{\i}a estrictamente
constante.

Por ah\'{\i} se suele leer que el perihelio de Mercurio ``no est\'a
siempre ah\'{\i}, sino que se corre''. Efectivamente,
la \'orbita de Mercurio es una curva {\sl abierta}, como la que
mostramos en la figura \ref{cap5:f1}.
\begin{figure}[!h]
\centering{\includegraphics[scale=0.4]{grav/cap05_fig01}}
\caption{Corrimiento de la \'orbita de Mercurio.\label{cap5:f1}}
\end{figure}

Para dibujarla, usamos el siguiente programa:

\begin{adjustwidth}{3pc}{2pc} \baselineskip=12pt                              
\begin{verbatim} 
a = 10
b = 6
p = b^2/a
eps = SQRT(1 -(b/a)^2)
k = 1.03 
DEF FNA(theta) = p /(1 + eps*COS(k*theta))

FOR theta = -2 TO 21 STEP .01
    r = FNA(theta)
    X = r * COS(theta)  :  Y = r * SIN(theta)
    PSET(X,Y)   :   NEXT theta
\end{verbatim}
\end{adjustwidth}

Por razones puramente art\'{\i}sticas, exageramos la excentricidad
de la \'orbita y tambi\'en exageramos el valor de la constante
$k$, que determina la magnitud de la precesi\'on; de modo que la
figura es una caricatura did\'actica de la \'orbita de Mercurio.

En la \'orbita ilustrada, $ k = 1.03 $. En la ecuaci\'on de
la elipse aparece $\cos(k \, \theta) $, de modo que el planeta
que precesa vuelve a pasar por el perigeo cuando se cumple
que \hbox{$\cos (k \,\theta _{\circ}) = \cos\left( k\, (\theta + \Delta
\theta)\right) $ }; o sea, cuando $ k \, \Delta \theta = 2\pi $. De aqu\'{\i}
resulta que $\Delta \theta = 2\pi /k $. Cuando no hay precesi\'on, el incremento
en $\theta $ es $2\pi $, de modo que el \'angulo en que gira
el eje mayor de la elipse, en cada vuelta, es la diferencia
$$  \Delta  = 2\pi - 2\pi/k $$
En nuestro ejemplo, $\Delta \approx 17^{\circ} $ en cada vuelta.

La precesi\'on total de la \'orbita de Mercurio es de $\approx
500 $ segundos de arco por siglo. Es dif\'{\i}cil darse cuenta
del significado de este n\'umero, as\'{\i} es que lo diremos de
otro modo: el eje mayor de la ``elipse'' demora un poco
m\'as de un mill\'on de a\~nos en dar una vuelta completa. Dicho de este modo,
creo que uno aprecia mejor la precisi\'on de las observaciones astron\'omicas.

Se ha encontrado que casi toda esta precesi\'on es debida a
los {\sl jalones laterales} que los dem\'as planetas ejercen
sobre Mercurio. Casi toda la precesi\'on de Mercurio es
completamente explicable mediante la ley de gravitaci\'on
que ya conocemos. Solamente queda una precesi\'on de
$ \approx 43 $ segundos/siglo, que no se han podido explicar
con certeza dentro de la teor\'{\i}a cl\'asica. Esto hace
que, a menudo, se hable de la precesi\'on de la \'orbita de
Mercurio como el gran fracaso de la teor\'{\i}a gravitacional
newtoniana.

Sin embargo, el asunto no es tan simple. Es cierto que si el Sol
fuese una part\'{\i}cula, entonces su campo ser\'{\i}a exactamente
de la forma $1/r^2$ y no deber\'{\i}a haber precesi\'on residual.
Pero bastar\'{\i}a que el Sol fuese levemente achatado en
los polos para que, incluso este resto de $ 43^{\prime\prime}$/siglo,
quedase completamente explicado. Hasta 1988 las mediciones
astron\'omicas no hab\'{\i}an podido dilucidar si los di\'ametros
del Sol eran iguales, en todas direcciones.

En s\'{\i}ntesis, a pesar de todo el tiempo transcurrido desde
que los as\-tr\'o\-no\-mos comenzaron a estudiar la precesi\'on de
las \'orbitas planetarias, el problema no est\'a cerrado; aunque
tambi\'en es cierto que, con la teor\'{\i}a einsteniana de la
gravitaci\'on, parece que se terminan los problemas.

No vaya a pensarse que solamente el perihelio de Mercurio precesa;
tambi\'en lo hacen los dem\'as perihelios, pero en forma a\'un
m\'as leve.

La correcta predicci\'on del tama\~no de la precesi\'on del perihelio
de Mercurio se se\~nala como un gran triunfo de la teor\'{\i}a
einsteniana de la gravitaci\'on. Sin embargo, Einstein no se puso
a trabajar en una nueva teor\'{\i}a de la gravitaci\'on para
explicar la precesi\'on de Mercurio, sino que su preocupaci\'on
podr\'{\i}a calificarse de mucho m\'as profunda: dilucidar el origen de
una de las propiedades m\'as importantes de la materia, la inercia.

\section{Maniobras orbitales}

Lo que sigue es la descripci\'on de una escena que hace pocos a\~nos
parecer\'{\i}a ficci\'on cient\'{\i}fica, pero que hoy es com\'un.

\begin{angosto}
Iv\'an y John  est\'an orbitando en torno a la Tierra, en
c\'apsulas distintas. Ambos est\'an en orbitas coplanarias y circulares, de
7000 km de radio, y ambos recorren sus \'orbitas en el mismo sentido, pero
John va 50 metros m\'as atr\'as que Iv\'an. John desea hacer llegar una
herramienta a Iv\'an. Abre la puerta de su c\'apsula, agarra la herramienta y
empieza a pensar c\'omo lanzarla para que llegue a las manos de
Iv\'an, quien la espera en la puerta de su nave.
\end{angosto}

\begin{figure*}[!h]
\centering{\includegraphics[scale=0.4]{grav/cap05_figivanyjohn}}
\caption{Iv\'an y John orbitando en torno a la Tierra. Y algunas posibles \'orbitas que la herramienta seguir\'ia al darle velocidad extra.}
\end{figure*}
Este es un problema simple, pero puede hacer tambalear nuestra
pobre intuici\'on mec\'anica de terr\'aqueo sin experiencia
espacial. Lo primero que se nos ocurre es lanzar la herramienta
directamente a Iv\'an, pero luego nos damos cuenta de que, al darle
velocidad extra, la herramienta entrar\'a en una \'orbita superior y
quiz\'as pase por encima de la c\'apsula de Iv\'an, por lo que \'este
no podr\'{\i}a agarrarla. ¿Habr\'a entonces que lanzarla un poco
hacia la Tierra?

Vamos a tratar de encontrar la respuesta completa a este tipo de
problemas, pero primero veamos unas maniobras preliminares, sin las
cuales es casi imposible conseguir encuentros espaciales.

\section{Orbitas coplanarias}

Si las \'orbitas no son coplanarias, el problema anterior es
complicad\'{\i}simo. Veamos entonces qu\'e tiene John que hacer
primero, para conseguir que su \'orbita est\'e en el mismo plano que
la de Iv\'an.

Un buen indicador de la orientaci\'on relativa de los \'angulos,
entre los planos de las \'orbitas de John e Iv\'an, es el \'angulo
entre los vectores momento angular de cada una de las c\'apsulas.
Es f\'acil imaginar que, si uno est\'a realmente en \'orbita
y no cuenta con ayuda exterior, es todo un l\'{\i}o conocer
la orientaci\'on de nuestro propio $\vec l $ con respecto al
marco de las estrellas, ya que $ \vec l$ es invisible.
Vamos a suponer entonces que, de alg\'un modo, ambos cosmonautas han resuelto
este problema y que ambos conocen sus momentos angulares. ¿Y
ahora? En el papel, el problema es sencillo: tenemos que darle una patada
al vector momentum angular, para cambiarlo de direcci\'on. Si adem\'as
de cambiarle la direcci\'on cambiamos el tama\~no de $\vec l$,
entonces va a cambiar el tipo de \'orbita y toda la maniobra
posterior de reencuentro se complicar\'a. Para s\'olo cambiar la magnitud de $\vec{l}$ 
conviene, entonces, aplicar a $\vec l $  impulsos ortogonales.
Para esto hay que orientar a la c\'apsula de modo que, al
encender brevemente al motor, el $\vec F\Delta t $ sea
perpendicular con $\vec l$. Una vez determinada la orientaci\'on,
hay que ajustar el tama\~no del impulso $\vec F\Delta t, $ de modo
que sea el adecuado.

La discusi\'on anterior muestra ---al menos en principio---
el tipo de cosas que necesitamos saber para ajustar el plano
de una \'orbita. Se ve claramente que es muy probable que
se tenga que hacer una serie de ajustes y correcciones, por lo
que es conveniente contar con un computador a bordo y con comunicaci\'on
radial con un centro terrestre. En todo lo que sigue, supondremos que
ya hemos conseguido la coplanaridad de las  \'orbitas.

\section{Circularizando una \'orbita}

En la mayor\'{\i}a de los casos, debido a los inevitables
errores ingenieriles, las \'orbitas no son circulares.
Una \'orbita no circular trae problemas. Basta pensar
en un sat\'elite de comunicaciones que no est\'e en una
\'orbita exactamente circular, para descubrir los efectos que eso
tendr\'{\i}a. Entonces, un problema pr\'actico muy com\'un es c\'omo
circularizar una \'orbita.

En principio, en cualquier punto de una \'orbita el\'{\i}ptica
en que nos encontremos podemos aplicar a la nave espacial
un impulso que la circularice, aunque  hay  lugares
en que la maniobra es m\'as simple que en otros. Es un buen
ejercicio estrujarse la cabeza hasta descubrir
porqu\'e los lugares
predilectos, para hacer estas maniobras de circularizaci\'on,
son los puntos extremos del eje mayor, el perigeo o el
apogeo.

\begin{figure}
\centering{\includegraphics[scale=0.4]{grav/cap05_fig02}}
\caption{Circularizando, en el perigeo y en el apogeo.\label{cap5:f2}}
\end{figure}

Si estamos pasando por el perigeo, para entrar a una
\'orbita circular tenemos que encender los motores y
empujar ``hacia atr\'as ---frenando---, con lo que se
puede consegir una \'orbita circular de radio $a(1-\epsilon)$.

Por el contrario, en el apogeo, haciendo que los motores empujen hacia adelante y
aumentando la rapidez de la nave, podemos entrar en una \'orbita
circular de radio  $a(1+\epsilon )$, como se ve en la figura \ref{cap5:f3-1}.
\begin{figure}[!h]
\centering{\includegraphics[scale=0.4]{grav/cap05_fig03-1}}
\caption{Esquema de las \'oritas que se obtienen al circularizar, en el perigeo, o en el apogeo.\label{cap5:f3-1}}
\end{figure}

Volvamos al problema inicial, al problema de los dos cosmonautas
en una misma \'orbita, pero desfasados.  John e Iv\'an ya
est\'an en \'orbitas del mismo tama\~no ---R = 7000 km---, pero Iv\'an
precede a John por 50 metros. Supondremos que John  lanza la herramienta
directamente hacia la nave de Iv\'an, con una rapidez de 10 metros por segundo.
Esto aumenta la velocidad tangencial que ya ten\'{\i}a la herramienta y pasa a
una nueva \'orbita. Usando las expresiones ya conocidas, se encuentra que
los par\'ametros de esta  nueva \'orbita  son
\begin{align*}
a = 7018582 \;\mathrm{m} \quad b = 7018558 \;\mathrm{m} \quad \epsilon = 2.615\times 10^{-3}
\end{align*}

De la ecuaci\'on de la elipse
%
\begin{align*}
r = a(1 - \epsilon \cos \phi )
\end{align*}
%
tomando la diferencial, se obtiene
%
\begin{align*}
dr = a \epsilon \sen \phi d\phi
\end{align*}

En esta expresi\'on conocemos casi todo. Desde luego, con gran
aproximaci\'on podemos poner $ a = R $, mientras que $d\phi =
\omega dt = \omega (50/v), $ donde $\omega $ es la velocidad angular
en la \'orbita circular inicial y $50/v $ es el tiempo que demora
la herramienta en recorrer los 50 metros de separaci\'on. Como hemos
supuesto que $v = 10$, se tiene que $d\phi = 5\omega $.

Por otra parte, $\phi = d\phi $, as\'{\i} es que, aproximando la funci\'on
seno para el caso de \'angulos peque\~nos, se obtiene
%
\begin{align*}
dr = R \epsilon (d\phi)^2 = 25 \epsilon \omega ^2 R
\end{align*}

Como estamos tratando solamente de estimar a $dr $ y  $ \omega ^2 R $
es la aceleraci\'on de gravedad, a la distancia $R$, como l\'{\i}mite
superior para $\omega ^2 R $ podemos poner 9.8,
con lo que la relaci\'on anterior se reduce a
%
\begin{align*}
dr = 9.8 \times 25 \times 2.6 \times 10^{-3}  \approx  0.6
\end{align*}

En conclusi\'on: aunque efectivamente la herramienta entra en una \'orbita
superior, las naves est\'an tan cercas que Iv\'an no deber\'{\i}a
tener ninguna dificultad en agarrarla, ya que \'esta apenas sube 60
cent\'{\i}metros.

\section{Transferencia entre \'orbitas}

Se podr\'{\i}a decir que el ejemplo anterior es un caso especial
de otro problema m\'as interesante: la transferencia de una \'orbita
a otra, de una nave espacial. As\'i como el viaje a la Luna marc\'o un
hito en la historia espacial, el pr\'oximo ser\'a un viaje desde la
Tierra hasta alg\'un otro de los planetas y por razones diversas, el
planeta que primero se visitar\'a ser\'a Marte, probablemente en un futuro cercano.

Supongamos que se ha lanzado una nave espacial dirigida al planeta
Marte.
Si se dispusiera de cantidades inagotables de combustible,
los viajes interplanetarios ser\'{\i}an ``triviales''.
Gran parte de las complicaciones provienen de que solamente
se dispone del combustible necesario para dar unos pocos
grandes empujones y, quiz\'as, una reserva para muy peque\~nas
correcciones finas. Empujamos solamente al comienzo;  el resto del viaje
queda en manos de Galileo y Newton.

Adem\'as, el viaje a Marte es un problema complicado porque, al menos,
es un problema de cuatro cuerpos: la nave, la Tierra, Marte y el Sol.
Para simplificarlo, se lo convierte en una sucesi\'on de problemas de
dos cuerpos: i) primero, se coloca a la sonda en
 \'orbita en torno a la Tierra y en los c\'alculos se supone que lo
\'unico importante es el jal\'on gravitacional de la Tierra (se
aprovecha para verificar que todo el equipo funcione bien, etc.); ii)
luego, se le da un empuj\'on para que salga de la Tierra y comience a
viajar hasta Marte (en esta etapa, la fuerza predominante es la
ejercida por el Sol); y iii) en las cercan\'{\i}as de nuestra meta,
nos olvidamos del Sol y nos preocupamos solamente de la \'orbita en
torno a Marte.

Aunque \'este es un problema t\'{\i}pico para estudiarlo con la ayuda
de un computador, el reducirlo a una sucesi\'on de problemas de dos
cuerpos nos permitir\'a controlar los n\'umeros que nos den las
computadoras, y ---al menos--- podremos rechazar aquellos
resultados que sean disparatados.

\textsf{Vamos entonces a analizar el siguiente problema: conocemos la \'orbita
inicial de la c\'apsula (es la \'orbita de la Tierra en torno al Sol),
su posici\'on inicial y la posici\'on de Marte, en ese mismo instante.
Se desea encontrar el incremento de velocidad $\Delta v_1 $ que
debemos darle a la c\'apsula para que se encuentre con el planeta
Marte (el que, mientras tanto, ha seguido movi\'endose tranquilamente
en su \'orbita).}

La planificaci\'on detallada de un viaje como \'este, es m\'as
complicada que una carambola a 7 bandas, en un billar a escala
c\'osmica, pues no solamente se trata de alcanzar ciertos puntos a
horas muy precisas, sino de llegar a ellos con velocidades muy
determinadas.

Podemos imaginarnos  movi\'endonos en el interior de un
{\bf cono} complicado, ya que no tiene paredes planas. Desde
nuestra c\'apsula espacial (la Tierra) vamos a echar a rodar
una canica (la sonda), que esperamos le acierte a otra
bolita (Marte) que tambi\'en corre por este  complicado
``cono'' y que, adem\'as, le acierte con la velocidad justa,
ya que en caso contrario seguir\'a de viaje, alej\'andose de Marte;
o se precipitar\'a y chocar\'a con \'el.

El problema no tiene solamente una soluci\'on. Hay soluciones en
que el viaje demora m\'as que en otras; algunas en que se requiere
m\'as combustible que las restantes y otras ---finalmente--- que exigen mayor
precisi\'on que las dem\'as. El que planea el viaje debe elegir.

Para simplificar el problema, vamos a suponer que tanto
la Tierra como Marte describen \'orbitas circulares en torno al Sol.
Esta aproximaci\'on es bastante buena, pues las exentricidades reales
son muy peque\~nas. Llamaremos $R_T $ y $R_M$, respectivamente,   a
los radios de las \'orbitas de la Tierra y Marte en torno al Sol.

Comenzamos considerando una \'orbita que lleva a una nave desde la
Tierra hasta un punto en la \'orbita de Marte (Figura \ref{cap5:f3}).

\begin{figure}
\centering{\includegraphics[scale=0.4]{grav/cap05_fig03}}
\caption{Viaje de una nave espacial entre la Tierra y Marte.\label{cap5:f3}}
\end{figure}

Aunque ciertamente la Tierra y Marte jalan a la nave espacial,
supondremos que la fuerza que domina es la atracci\'on solar, de
modo que la \'orbita de la nave es un arco de elipse con foco en
el Sol. Si la elipse que sigue la nave tiene semieje mayor $a$ y
excentricidad $\epsilon$, la ecuaci\'on de este arco es
%
\begin{align*}
r = \frac{a(1-\epsilon ^2)}{1 + \epsilon \cos\theta}
\end{align*}

Por lo tanto, en los instantes de salida y de cruce con la \'orbita
de Marte se cumple que (ver Figura \ref{cap5:f3})
%
\begin{align}
\label{cap5:ec5}
R_T &= \frac{a(1-\epsilon ^2)}{1 + \epsilon}=a(1-\epsilon ) \\
\label{cap5:ec6}
R_M &= \frac{a(1-\epsilon ^2)}{1 + \epsilon \cos \theta_{\circ}}
\end{align}

Entre estas dos ecuaciones podemos eliminar el factor $a(1-\epsilon
^2) $ y despejar a $\epsilon $. Se obtiene
%
\begin{align}
\label{cap5:ec7}
\epsilon = \frac{R_M - R_T}{R_T - R_M \cos \theta_{\circ}}
\end{align}

Si imponemos un valor para $\theta_{\circ}$, entonces la ecuaci\'on
anterior define la \'orbita de transferencia. Vamos a elegir este
par\'ametro de modo que se minimice el incremento de velocidad
necesario para llegar hasta la \'orbita de Marte.

Como se sabe, la velocidad de un sat\'elite terrestre colocado en una \'orbita
de semieje mayor $a$, cuando est\'a a una distancia $r$ del centro de
atracci\'on es
%
\begin{align}
\label{cap5:ec8}
v^2 = K\left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)
\end{align}
%
en que $K = GM_{tierra} $, asi que en el punto T se cumple
%
\begin{align}
\label{cap5:ec9}
v^2 & = K \left( \frac{2}{R_T} - \frac{1-\epsilon }{R_{T}} \right) \notag \\
& = \frac{K}{R_T} (1 + \epsilon) 
\end{align}

La nave espacial parte con la velocidad orbital que tiene la Tierra
respecto al Sol, $ \sqrt{K/R_T} $, as\'{\i} que el incremento que se
necesita darle es
%
\begin{align*}
\Delta v_1 =  \sqrt{K/R_T} \Bigl( \sqrt{1+\epsilon} - 1 \Bigr)
\end{align*}

Este incremento es m\'{\i}nimo cuando $\epsilon $ tome el menor valor
posible compatible con una \'orbita que intercepte a la \'orbita de
Marte. Seg\'un la ecuaci\'on (\ref{cap5:ec7}), esto ocurre cuando $\theta_{\circ}$
sea igual a $\pi$, de modo el m\'{\i}nimo de $\epsilon$  es
%
\begin{align*}
\epsilon_{min} = \frac{ R_M - R_{T} }{R_M + R_T}
\end{align*}

Esta es la \'orbita llamada de Hohmann (Figura \ref{cap5:f3}). Es tangente a la \'orbita de la Tierra en el punto de partida y tambi\'en es tangente a la \'orbita
de Marte. Adem\'as, el incremento de velocidad dado a la nave espacial
es m\'{\i}nimo. Este incremento es
%
\begin{align*}
\Delta v_1 = \sqrt{\frac{K}{R_{T}}} \biggl(\sqrt\frac{2 R_M  }{R_M + R_T}- 1 \biggr)
\end{align*}

Naturalmente que al llegar a la \'orbita de Marte habr\'a que aplicar
otro incremento $ \Delta v_2 $ para circularizar la \'orbita de la
nave. Se encuentra que este nuevo incremento es\marginpar{Se sugiere al alumno que compruebe este resultado.}
%
\begin{align*}
\Delta v_2 = \sqrt{\frac{K}{R_M}} \left[ 1 - \sqrt{\frac{2R_T}{R_M+R_T}} \right]
\end{align*}

Introduciendo los valores conocidos, se encuentra que
%
\begin{align*}
\Delta v_1 &= 2.8 \hbox{\kern1pc km/seg} \\
\Delta v_2 &= 2.6 \hbox{\kern1pc km/seg}
\end{align*}

A partir de estos aumentos de velocidad y del conocimiento de la masa
de la nave, uno puede calcular la energ\'{\i}a que es necesario gastar
para este viaje.

Tambi\'en es interesante conocer la duraci\'on del vuelo. A partir de
la tercera ley de Kepler (\ref{cap4:18}, cap. 4)
%
\begin{align*}
\Delta t &= \frac{\pi a^{3/2}}{\sqrt{K}} \\
& = \pi [(R_T + R_M) R_M]^{3/2}/ 2^{3/2} K^{1/2} \\
& \approx \text{8 meses}
\end{align*}

A pesar de todos los m\'eritos de las \'orbitas Hohmann, es casi seguro que cuando en los
pr\'oximos a\~nos se haga el primer viaje a Marte, no se las use. En
primer lugar, ocho meses es demasiado tiempo para una tripulaci\'on
humana. Por otra parte, las posiciones relativas de la Tierra y Marte
solamente son las correctas cada 26 meses, asi que el viaje de
ida y vuelta tomar\'{\i}a  42 meses, o sea 3.5 a\~nos. Demasiado.

En vez de entrar en largos desarrollos te\'oricos, lo
que te sugiero es que escribas un buen programa de integraci\'on
num\'erica y te diviertas experimentando en la pantalla
de un computador. Adem\'as podr\'{\i}as... jugando, jugando... descubrir
qu\'e efectos producen, sobre las \'orbitas, peque\~nos
cambios en las condiciones iniciales de lanzamiento.
Si alguien te pregunta qu\'e estas haciendo, podr\'{\i}as
usar una contestaci\'on muy elegante: {\sl estoy investigando la
estabilidad de \'orbitas, en campos del tipo  $1/r^2 $.}

\subsection*{Una paradoja}

Para terminar de poner a prueba tu intuici\'on femenina, una historia.
Se cuenta que, poco despu\'es de la puesta en \'orbita de los
primeros sat\'elites, al final de una conferencia el pionero
von Braun ---tal como se acostumbra--- ofreci\'o contestar preguntas
del p\'ublico. Tom\'o la palabra un viejito que hab\'{\i}a soportado
la conferencia dormitando y dijo:

\begin{angosto}
No s\'e porqu\'e tanto esc\'andalo con la fricci\'on con el
aire y su nocivo efecto sobre la \'orbita de los sat\'elites. Si un
sat\'elite est\'a en \'orbita circular, en un planeta sin atm\'osfera,
entonces se cumple que
%
$$ mv^2/R = GMm/R^2 \ \  \Rightarrow  \ \  R = GM/ v^2 $$
%
Si ahora suponemos que hay atm\'osfera, entonces la
fricci\'on entre ella y la c\'apsula har\'a que la rapidez $v$
\underbar{disminuya}, lo que hace que $R$ aumente; o sea, el
sat\'elite no cae a Tierra, sino que se eleva.
\end{angosto}

Esta es una famosa paradoja. Te la dejo para que te diviertas.

\section{Atractividad \kern 4pt e \kern 4pt Inercia}

Vamos, pues, a comenzar nuestro an\'alisis de las nociones que a
menudo se piensa que son in--analizables, a las que, por eso mismo, se
las llama b\'asicas o fundamentales. Es una historia larga,
complicada, pero muy interesante. Necesariamente ser\'a una
historia que dejaremos trunca, pero esperamos que la retomes
m\'as adelante, cuando conozcas m\'as de f\'{\i}sica.

Si uno escribe $\vec  F  =  m  \vec a$,  dicen  que  lo decente es
interpretar  a $m$  como la  ``flojera'' (letargia,  inercia,  laziness o
Tr\"agheit) del objeto que se  trate. No es  de  extra\~nar,
entonces, que mucha  gente   a  esa  $m$   le  agregue   el apellido:
\emph{inercial.}


El significado emp\'{\i}rico de la noci\'on de {\sl masa inercial}
ser\'{\i}a el siguiente:

\begin{itemize}
\item{i)} se elige un objeto  como patr\'on de referencia y a su inercia se
le da el valor  $m=1 $;
\item{ii)} para  determinar  la  masa  de   otro  objeto,  en
principio habr\'{\i}a que instalarlo junto con el objeto patr\'on,
sobre una mesa {\sl sin fricci\'on} y con un resorte comprimido entre
ellos. Al estirarse, el resorte acelerar\'a a ambos cuerpos.
\end{itemize}

Si llamamos $M$ a la masa  desconocida,  $ v_1 $ a la rapidez
del  patr\'on  al  terminar  de   estirarse  el  resorte y  $  v   $ a  la
correspondiente rapidez final del otro objeto, la masa $M$ de este \'ultimo
se \underbar{define} como $ M = v_1/ v $.

La pr\'edica habitual consiste en hacernos pensar, adem\'as, que la masa
inercial es una {\bf propiedad intr\'{\i}nseca} de la materia. Esto significa
lo siguiente: si repetimos la determinaci\'on de la masa de un objeto, pero
esta vez lo hacemos cerca de una monta\~na o de cualquier otro objeto,
obtendremos el mismo valor; o tambi\'en, tomando un caso extremo, si por alg\'un
milagro la mitad de la materia del Universo desapareciera de un
d\'{\i}a para otro, la ``flojera'' de este ladrillo ser\'{\i}a
la misma flojera de ayer.

Al  estudiar  el movimiento de  los planetas en  torno al Sol,  hubo un
momento  en que pudimos asegurar que todos los planetas aceleran hacia
el Sol, seg\'un la ley:
%
\begin{equation}
\label{cap5:ec10}
\vec a = - \frac{K}{r^2} \, \widehat r
\end{equation}

Naturalmente, el valor num\'erico de $K$ no es importante ni fundamental,
ya  que,  si bien debe reflejar alguna  propiedad  del Sol,  tambi\'en el
valor num\'erico  tiene algo de  anecd\'otico,  pues
depende  de  nuestra  previa elecci\'on de unidades de distancia y tiempo.

Tampoco el \underbar{nombre}  de $K$ es importante;  lo podemos llamar
como  queramos.   Desde   hace 30   a\~nos  un  amigo  m\'{\i}o  lo  llama
``macidez''   y \  est\'a  en su  pleno derecho,  as\'{\i}\  como
estaban  en su derecho los f\'{\i}sicos de comienzos de  siglo, que lo
llamaban  {\sl  masa astron\'omica};  o los m\'as cr\'{\i}pticos, que
simplemente lo llaman $GM$.  Lo interesante es  el fen\'omeno:  los
planetas curvan sus trayectorias en la  direcci\'on del  Sol  y la
aceleraci\'on est\'a dada por  la  expresi\'on (\ref{cap5:ec10})

Si insistimos en unir al cielo con la tierra,  si insistimos en unir
la expresi\'on $ \vec a = -K \widehat r/r^2 $  (donde no aparece ni $\vec F $
ni $m)$ con  $\vec a = \vec F/m $, entonces, tal como ya mostramos,  se llega a
$$  \vec F = - \frac{GMm}{r^2} \, \widehat r $$

Vale la pena revisar la argumentaci\'on, para convencernos de que {\bf tanto $M$
como $m$ son masas inerciales}.

Cuando Monsieur Coulomb escribi\'o su  famosa  ley  $ F =
Q_1Q_2/r^2$, estuvo claro que, desde el principio,  $Q_1$ y $Q_2$ ten\'{\i}an
que ver con los poderes de repulsi\'on  (o  atracci\'on)  que  adquieren los
objetos electrizados; de modo que, por analog\'{\i}a, hubo gente que empez\'o a
pensar que los  $M$ y  $m$  que  aparecen  en la  ley de  gravitaci\'on
tambi\'en deber\'{\i}an representar {\sl el poder de atracci\'on} de
los objetos. Se propusieron, entonces, distinguir  dos tipos de masa:  la masa
inercial, como medida de la flojera; y la masa gravitacional, como medida del
poder de atracci\'on.

Veamos c\'omo se distinguir\'{\i}a experimentalmente  este  nuevo
tipo  de masa, que  ya  conocemos.  Tomamos   un  objeto  y
\underbar{definimos}  su atractividad (o masa gravitacional) como
igual a 1.  Para determinar la masa gravitacional  $m_g,$ de otro
objeto de masa inercial $m_i $, digamos, una aceituna, en principio
tendr\'{\i}amos que colocar la aceituna a  una cierta  distancia
$r$   de nuestro patr\'on gravitacional.  Se ve
de inmediato que empiezan las dificultades experimentales,  ya que,
si se  trata de objetos macrosc\'opicos,  {\sl la distancia } es  una
frase  vaga.  Sin embargo, sigamos. Al interactuar gravitacionalmente
con nuestro objeto patr\'on, la  fuerza sobre la aceituna ser\'a
$$ F = \frac{G \cdot 1 \cdot m_g }{r^2} $$
\noindent y como creemos que tambi\'en  $ F = m_i a $, la masa gravitacional de la
aceituna ser\'{\i}a
%
$$ m_g = \frac{m_i \cdot a \cdot r^2}{G }$$

Los l\'{\i}os experimentales no terminan aqu\'{\i}, ya que, al menos
que se trate de part\'{\i}culas,  los campos gravitacionales
no tienen simetr\'{\i}a esf\'erica perfecta.
Una manera de hacer que un piano parezca una part\'{\i}cula,  es
alejarlo  bastante.   Del   mismo   modo,   para  determinar  la  masa
gravitacional,  tendr\'{\i}amos que  alejar  much\'{\i}simo  a  los
objetos  que interact\'uan. Por esto, la masa gravitacional se define como
%
$$  m_g = \lim_ {r \to \infty} \Bigl(\frac{a r^2}{G} \Bigr) $$

Cualquier f\'{\i}sico experimental  temblar\'{\i}a ante  la
definici\'on anterior,  ya que si  hacemos que  $ r $ tienda a
infinito, la  fuerza de
atracci\'on  disminuye tanto, que nos quedamos  sin
poder medir la aceleraci\'on; pero lo importante es el
{\sl principio}. Aunque no es esencial,  nada  impide que elijamos
como unidad de  masa gravitacional a la  atractividad  de  cierto objeto
(por  ejemplo, un cilindro  de  platino e  iridio) y, como unidad
de inercia, a  la  masa inercial de ese mismo objeto.  Si, adem\'as, a ese
objeto lo llamamos {\sl kilo}, entonces tanto las masas inerciales como
las gravitacionales se medir\'{\i}an en kilos. Los puristas quiz\'as nos
conminar\'{\i}an a tener siempre presente  que   3  kg inerciales de oro y
3 kg gravitacionales de oro representan  propiedades muy distintas de
la materia,  aunque  en  el mercado tengan el mismo valor.

Aunque luego lo discutiremos con mayor detalle, adelantamos un resultado muy
importante: \textsf{las masas inerciales y gravitacionales son
exactamente proporcionales entre s\'{\i}.}

Una vez hecha la distinci\'on entre  masa  gravitacional e inercial,  la
neurosis se desata. Ha habido quienes pretenden sub-dividir las masas
gravitacionales en dos categor\'{\i}as:  las gravitacionales activas
y las gravitacionales pasivas.

Si llamamos  $M$ y $m$ a las  masas  {\sl gravitacionales} de dos
objetos que interact\'uan,  entonces la fuerza que $m$ ejerce sobre $M$ se
escribir\'{\i}a
$$ {G M_{pasiva} \cdot m_{activa}\over r^2} $$
mientras que la fuerza que  $M$ ejerce sobre $m$  ser\'{\i}a  $G M_{activa}
m_{pasiva} / r^2.$

Pero esta distinci\'on es una tonter\'{\i}a  ya que es f\'acil
mostrar que, si esto fuese cierto,  entonces no habr\'{\i}a conservaci\'on del
momentum, lo que casi nadie est\'a dispuesto a aceptar. Para  tranquilidad
de todos,  vamos a mostrar que  tampoco  es  necesario
distinguir  entre  masa   inercial  y masa gravitacional. \bigskip

Si  la  fuerza de  interacci\'on entre  dos  part\'{\i}culas es $ F =  G  m_g
M_g/r^2$  y la  aceleraci\'on es  $ a = F/m_i $,  entonces
debe cumplirse
%
$$ \vec a = - \left(\frac{m_g}{m_i}\right) \frac{GM_g }{r^2} \, \widehat r $$

Se ve  que  \underbar{todos}   los  objetos  caer\'{\i}an  con la  misma
aceleraci\'on, con tal que
%
\begin{align*}
m_g = m_i
\end{align*}


El problema es descubrir  si se cumple o no esta relaci\'on.  La primera
respuesta la obtuvo Galileo y la confirm\'o Newton mediante algunos toscos
experimentos, de modo que a la igualdad  anterior
se la llama  {\sl principio \hbox{\sl newtoniano} de igualdad de la masa inercial
y gravitacional}.
Vamos a revisar la evidencia experimental que existe
a favor de la igualdad entre masa inercial y gravitacional.
Uno podr\'{\i}a pensar que, por tratarse de un tema cl\'asico, ya
ha sido agotado. Sin embargo, no es as\'{\i}. Al menos hasta mediados
de este siglo se han estado realizando experimentos muy refinados,
para poner a prueba la proporcionalidad (o igualdad) entre ambos
tipos de masas.

\section{Experimentos de Bessel}

La ca\'{\i}da libre de objetos dura tan poco tiempo, que no se presta
para  hacer expe\-ri\-mentos de  alta precisi\'on como los  que
necesitamos. Pero  un p\'endulo puede ir acumulando discrepancias. Si
escribimos la ecuaci\'on  de movimiento de un p\'endulo simple en la  forma
neur\'otica que estamos comentando, tendr\'{\i}amos que escribir algo as\'{\i}:
%
$$  m_i l \ddot \theta = - m_g \, g sen\theta$$
%
de modo que, para peque\~nas amplitudes,
%
$$  \ddot \theta + \omega ^2 \theta = 0 \quad
\text{con} \quad \omega ^2 = \frac{m_g}{m_i} \cdot \frac{g}{l} $$
%
Si nos olvidamos de algunas desgracias experimentales (como
la fricci\'on) y si  para todos  los  p\'endulos ---cualquiera que
fuese la substancia de que estuviesen hechos--- resultara que  $m_g/m_i$
es siempre  el  mismo n\'umero,  los p\'endulos tendr\'{\i}an un
per\'{\i}odo   funci\'on solamente de  su longitud. En especial,
todos los p\'endulos de igual largo deber\'{\i}an tener igual per\'{\i}odo,
ya  que  la  fuerza aceleradora crecer\'{\i}a  en igual proporci\'on
que la inercia.  Esta  es la idea b\'asica del experimento de Bessel,
quien se consigui\'o dos p\'endulos de igual largo  y los puso  a
oscilar, uno junto al otro.

Si no hubiese amortiguamiento, de modo que los p\'endulos
completasen ---digamos--- cien mil oscilaciones y si, finalmente,
pudi\'eramos afirmar que ambos han completado esas cien mil oscilaciones con
una discrepancia menor que un d\'ecimo de oscilaci\'on, entonces
podr\'{\i}amos anunciar al mundo que hemos verificado ---con una precisi\'on
de una parte en $10^6$--- que $m_g/ m_i$ es una constante.

No es f\'acil hacer un experimento como el reci\'en descrito, pero,
tomando muchas precauciones, Bessel pudo anunciar  (en 1873)
que $m_g/m_i$  es constante, con precisi\'on aproximada
de una parte en $60\,000$.

Recordemos que, bajo esta afirmaci\'on,  {\it ser constante}  no significa
ser  independiente del tiempo,  sino que  $  m_g/m_i$  tiene  el mismo
valor para cualquier  par de materiales.  Desde este  punto  de vista,
quiz\'as ser\'{\i}a mejor decir que   $m_g/m_i$  es {\sl uniforme}, a lo largo
de todo el espectro de substancias puestas a prueba.

\section{El experimento de E\"otv\"os}

Esta historia a\'un no termina. Un cierto ocioso h\'ungaro, de apellido
E\"otv\"os y con t\'{\i}tulo de Bar\'on, comenz\'o una larga serie de
mediciones que lo mantuvieron ocupado durante 25 a\~nos. Todos los
d\'{\i}as ---supongo--- bajaba a la bodega de vinos de su castillo, ya
que ah\'{\i} mont\'o su experimento.

La idea de E\"otv\"os fue la siguiente: al colgar un objeto de un
hilo, si la Tierra fuese homog\'enea ---o al menos su densidad fuese una
funci\'on con simetr\'{\i}a esf\'erica--- y no girase sobre s\'{\i} misma,
entonces el hilo apuntar\'{\i}a directamente hacia el centro de la Tierra.
Pero ---como todos sabemos--- la Tierra est\'a girando, de modo que  el hilo ya
no apuntar\'a  hacia el centro de \'esta.  Como estamos en un sistema
que gira, aparece la famosa fuerza centr\'{\i}fuga,
de tama\~no $ m_i \omega ^2 \rho$, en que  $m_i$ es la masa inercial del
objeto, $\omega$ la velocidad angular de la Tierra respecto a las
estrellas ``fijas'' y $\rho$ la distancia del objeto al eje de rotaci\'on,
distancia en este caso representada por el eje que pasa por los  polos  norte y
sur. Esta es la fuerza  que saca al hilo de la vertical.
Imaginemos ahora que tenemos dos objetos de igual \underbar{peso}
(es decir, son igualmente atra\'{\i}dos por la Tierra) y que est\'an
colgando de sendos hilos, instalados uno junto al otro. Para darles
la posibilidad de tener distinta masa inercial, a pesar de tener pesos
iguales, tratamos de que los objetos que cuelgan est\'en hechos de
materiales lo m\'as diferentes posible; como aluminio y oro, por
ejemplo, que tienen densidades muy dispares. Entonces, si a pesar de tener
iguales pesos sus masas inerciales fuesen distintas, los hilos formar\'{\i}an
\'angulos diferentes respecto a la vertical; o sea, los hilos no ser\'{\i}an
paralelos entre s\'{\i}, sino que formar\'{\i}an un peque\~no
\'angulo, $\Delta \phi$.

Si este \'angulo fuese cero, entonces significar\'{\i}a  que la masa
gravitacional y la inercial son \underbar{exactamente} proporcionales entre
s\'{\i}.

Esta fue la idea b\'asica de E\"otv\"os. Pero, como en la
pr\'actica es muy dif\'{\i}cil medir el \'angulo entre los hilos,
especialmente si \'este es peque\~no, \'el us\'o un procedimiento
indirecto, basado en el uso de una balanza de torsi\'on. Su resultado
experimental equivale a poder asegurar lo siguiente: {\sl para una
ubicaci\'on en la Tierra correspondiente a una latitud vecina a los
$40^\circ,$ puedo asegurar que los hilos no forman un \'angulo mayor
que $0.000018$ \underbar{segundos} de arco.}

Este resultado implica que, si llamamos $\Delta m$
a la di\-fe\-ren\-cia de masa inercial entre ambos objetos
colgados (¡a pesar de tener igual peso!), mientras que $m$ es la
semisuma de sus masas inerciales, se tiene que
$$ \Delta m/m\quad \leq  \quad 1/ 10^8 $$
Por su precisi\'on, este es un resultado experimental impresionante. Un \'angulo
de $0.000018$ segundos de arco es el \'angulo que subtiende un trazo
de mil\'{\i}me\-tro, en el ojo de una persona que lo observa desde
$\ldots$ 10.000 kil\'ometros.

Podr\'{\i}a pensarse que  esto no hace sino confirmar a Galileo y a sus
experimentos de ca\'{\i}da,  pero lo cierto es que va mucho m\'as all\'a,
especialmente en cuanto a precisi\'on.
Este experimento de E\"otv\"os fue  mejorado por Dicke y su equipo,
aumentando  la  precisi\'on   hasta   una parte en   $10^{11}$.  M\'as
recientemente, Braginsky y colaboradores confirmaron la igualdad de las masas
gravitacionales e inerciales, aumentando la precisi\'on hasta una parte
en $10^{12} $.
Se ve que, a pesar del inter\'es de muchos fil\'osofos en separar las
nociones
de masa {\sl inercial} y masa {\sl gravitacional},
la Naturaleza parece no distinguir entre ellas. M\'as a\'un,
Ernst Mach, un f\'{\i}sico austr\'{\i}aco cuyas ideas aparentemente
influyeron  mucho sobre Einstein, no solamente  predijo la
igualdad de esas masas, sino que, a partir de esta igualdad,
pensaba que hab\'{\i}a solamente un tipo de masa y que este
tipo correspond\'{\i}a a la masa {\bf gravitacional}.

Lo que nosotros llamamos ``inercia'', o flojera de un ladrillo,
no ser\'{\i}a sino una manifestaci\'on de la interacci\'on de
esa ladrillo con toda la materia del Universo. Mach pensaba que es esa misma
interacci\'on la responsable del giro del plano de oscilaci\'on del
p\'endulo de Foucault y de la cintura abultada de la Tierra.

Esta  historia acerca del significado de la inercia es
interesant\'{\i}sima  y est\'a descrita magistralmente por el astrof\'{\i}sico
brit\'anico Denis Sciama, en su libro {\sl The Unity of the Universe.}

Se podr\'{\i}a pensar que, despu\'es de tantos argumentos y experimentos
de tama\~na precisi\'on, ya no pod\'{\i}a haber sorpresas mayores. Sin embargo,
en Enero de 1986 dio r\'apidamente la vuelta al mundo la noticia de que
probablemente hab\'{\i}a que volver a examinar los resultados de experimentos
tipo E\"otv\"os. Es la historia del algo que se alcanz\'o a llamar
``Quinta Fuerza'', la que apenas vivi\'o dos a\~nos y muri\'o de
muerte natural.
